Cara Mencari Determinan dalam Matriks 3×3

Pendahuluan

Halo pembaca, saya Rintiksedu.id, penulis artikel ini. Saya memiliki pengalaman dalam mencari determinan dalam matriks 3×3 dan ingin berbagi pengetahuan saya dengan Anda. Determinan adalah konsep penting dalam matematika dan sering digunakan dalam berbagai bidang seperti sains dan teknik. Dalam artikel ini, kita akan belajar langkah-langkah untuk mencari determinan sebuah matriks 3×3 menggunakan metode ekspansi kofaktor. Untuk memberikan gambaran yang jelas, saya juga akan menyertakan beberapa contoh. Mari kita mulai!

Menulis Matriks

Langkah pertama dalam mencari determinan sebuah matriks 3×3 adalah menuliskan matriksnya. Matriks 3×3 terdiri dari 3 baris dan 3 kolom. Misalkan kita memiliki matriks A dengan elemen-elemen berikut:

A = | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

Di sini, setiap aij (dibaca a-suku) adalah elemen matriks yang terletak di baris ke-i dan kolom ke-j. Misalnya, a11 adalah elemen yang terletak di baris 1 dan kolom 1.

Mencari Determinan

Setelah kita menuliskan matriks 3×3, langkah selanjutnya adalah menerapkan metode ekspansi kofaktor untuk mencari determinan. Pertama, kita memilih salah satu baris atau kolom dari matriks tersebut. Misalkan kita memilih baris pertama (a11, a12, a13) sebagai contoh. Kemudian, kita akan “menggarisbawahi” baris dan kolom yang dipilih, sehingga membentuk sebuah matriks 2×2.

Contohnya:

| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

Ketika kita menggarisbawahi baris dan kolom pertama, kita akan mendapatkan matriks 2×2 berikut:

| a22 a23 |
| a32 a33 |

Sekarang, kita perlu mencari determinan dari matriks 2×2 tersebut. Determinan matriks 2×2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ad – bc, di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks 2×2 tersebut. Misalkan determinan matriks 2×2 tersebut adalah D. Jadi, D = a22 * a33 – a23 * a32.

Selanjutnya, kita perlu mengalikan determinan matriks 2×2 dengan elemen yang dipilih, yaitu a11 pada contoh ini. Kita juga perlu menentukan tanda yang sesuai. Jika elemen yang dipilih berada pada baris dan kolom genap (misalnya baris kedua dan kolom ketiga), kita akan mengalikan dengan -1. Jika elemen yang dipilih berada pada baris dan kolom ganjil (misalnya baris pertama dan kolom pertama pada contoh ini), kita akan melewatkan langkah ini.

Mengalikan dan Menentukan Tanda

Langkah terakhir adalah mengalikan determinan matriks 2×2 dengan elemen yang dipilih dan menentukan tanda yang sesuai. Dalam contoh kita, determinan matriks 2×2 yang telah kita hitung adalah D = a22 * a33 – a23 * a32. Karena kita memilih elemen a11 yang berada pada baris pertama dan kolom pertama, kita tidak perlu mengalikannya dengan -1.

Jadi, determinan matriks 3×3 adalah Determinan(A) = a11 * D₁₁ – a12 * D₁₂ + a13 * D₁₃, di mana D₁₁, D₁₂, dan D₁₃ adalah determinan matriks 2×2 yang dihasilkan dari menggarisbawahi baris dan kolom kedua dan ketiga.

Dengan mengikuti langkah-langkah ini, Anda dapat mencari determinan matriks 3×3 dengan mudah dan cepat. Sekarang mari kita lihat beberapa contoh untuk lebih memahaminya.

Contoh 1: Mencari Determinan Matriks 3×3

Misalkan kita memiliki matriks A berikut:

A = | 2 1 3 |
| 0 -1 4 |
| 5 2 -1 |

Kita akan menerapkan metode ekspansi kofaktor untuk mencari determinan dari matriks A.

Langkah pertama, kita memilih baris pertama (2, 1, 3) sebagai contoh. Kemudian, kita menggarisbawahi baris dan kolom pertama dan membentuk matriks 2×2:

| -1 4 |
| 2 -1 |

Selanjutnya, kita mencari determinan dari matriks 2×2 tersebut dengan rumus ad – bc:

D = (-1 * -1) – (4 * 2) = -1 + 8 = 7

Terakhir, kita mengalikan determinan matriks 2×2 dengan elemen yang dipilih (2 pada contoh ini) dan menentukan tanda yang sesuai. Karena elemen yang dipilih (2) berada pada baris dan kolom genap, kita akan mengalikan dengan -1:

Determinan(A) = 2 * D = 2 * 7 = 14

Jadi, determinan matriks A adalah 14.

Contoh 2: Mencari Determinan Matriks 3×3

Misalkan kita memiliki matriks B berikut:

B = | 3 0 2 |
| 1 5 -1 |
| 2 -4 2 |

Kita akan menerapkan metode ekspansi kofaktor untuk mencari determinan dari matriks B.

Langkah pertama, kita memilih baris pertama (3, 0, 2) sebagai contoh. Kemudian, kita menggarisbawahi baris dan kolom pertama dan membentuk matriks 2×2:

| 5 -1 |
| -4 2 |

Selanjutnya, kita mencari determinan dari matriks 2×2 tersebut dengan rumus ad – bc:

D = (5 * 2) – (-1 * -4) = 10 – 4 = 6

Terakhir, kita mengalikan determinan matriks 2×2 dengan elemen yang dipilih (3 pada contoh ini) dan menentukan tanda yang sesuai. Karena elemen yang dipilih (3) berada pada baris dan kolom ganjil, langkah ini tidak perlu dilakukan:

Determinan(B) = 3 * D = 3 * 6 = 18

Jadi, determinan matriks B adalah 18.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah belajar tentang cara mencari determinan matriks 3×3 menggunakan metode ekspansi kofaktor. Dalam metode ini, kita memilih satu baris atau kolom dari matriks, mendapatkan matriks 2×2 dengan menggarisbawahi baris dan kolom tersebut, mencari determinan matriks 2×2, dan melakukan perkalian dan penentuan tanda yang sesuai untuk menemukan determinan matriks 3×3. Langkah-langkah ini memungkinkan kita untuk mencari determinan matriks 3×3 dengan mudah dan cepat. Semoga artikel ini memberikan pemahaman yang baik tentang cara mencari determinan matriks 3×3 dan manfaatnya dalam matematika dan ilmu terkait.